Піднесення до степеня: основи математики в програмуванні

Нерідко ми стикаємося з тим, що нам необхідно звести число в будь-яку ступінь. Можна скористатися звичайним калькулятором. Але це нецікаво і дуже часто не підходить під умови поставленого завдання.

Поняття ступеня в математиці

Варто почати з пояснення математичного сенсу зведення в ступінь. Наприклад, нам необхідно звести деяку кількість x в ступінь y. У математиці цей запис виглядала б так: x^y = X ^ y. Це означає, що число x потрібно помножити на себе y раз. Пам`ятайте: яке б ви число ні зводили в нульову ступінь, вийде одиниця, а також при зведенні в першу ступінь ми отримаємо наше вихідне число. При зведенні в негативну ступінь ми всього лише перевертаємо отриманий результат.

Піднесення до степеня на Паскалі

З математикою все зрозуміло. Але як же нам зробити таку програму, яка буде виробляти зведення в ступінь? Тут все просто. Якщо нам необхідно звести x в ступінь 5, то наш код набуде вигляду: res: = x * x * x * x * x. Ми помножили число x на себе 5 разів, як нам і було потрібно, але що робити, якщо нам не відома ступінь, в яку необхідно звести число? Далі ми розглянемо, як виробляти зведення в ступінь. Паскаль надає нам не дуже багато можливостей для цього, але ми обов`язково що-небудь придумаємо. Наприклад, використання стандартних функцій і процедур або використання різних циклів.

Зведення числа в квадрат

Почнемо, мабуть, з зведення в квадрат. Зведення в квадрат є окремим випадком зведення в ступінь. Для цього в паскале передбачена стандартна процедура sqr (x). Вона зведе наше число x в квадрат, цей запис дорівнює записи x * x.

Дуже часто цього цілком достатньо, але не завжди програма може обмежитися одним лише зведенням в квадрат. Як же зводити в більш високі ступені? Про це читаємо далі і просвіщати.

Використання стандартних операторів

У Паскалі існує два методи для зведення числа в ступінь: exp (ln (x) * y) і метод power (x, y). Процедура exp () має обмеження: x має бути більше 0, тому що не можна витягти натуральний логарифм з непозитивним числа, але ця функція вважається застарілою і незручною для використання, тому далі ми про неї говорити не будемо. Функція power () приймає два значення, перше число (x) - яке потрібно звести в ступінь, друге число (y) - ступінь, до якої потрібно звести і повертає x в ступені y. Слід пам`ятати, що числа х і у - речові, тобто типу real.

Але тут є один недолік, ця функція є не у всіх версіях Паскаля. Та й взагалі, іноді зведення в ступінь має проводитися без використання операторів. Йдемо далі і розбираємо наступний спосіб.

Піднесення до степеня за допомогою циклу for

Як ми вже зрозуміли, зведення числа в ступінь - це послідовне множення числа на саме себе кілька разів. Повторити якась агресивна дія кілька разів в програмуванні набагато легше, ніж в житті. Скористаємося циклом for:

Розберемося, що і як тут працює. Для початку ми вводимо два числа: x і y. Потім беремо за результат одиницю, для чого це - нижче. Виконуємо цикл до модуля нашої ступеня, тому що якщо ступінь буде негативною, то цикл не піде. У циклі ми множимо наш результат на саме число x. Так навіщо ми привласнювали результату 1? По-перше, якби ми множили на 0, то програма завжди видавала б 0. По-друге, наша ступінь може бути дорівнює 0, тоді програма повинна повернути нам 1, тому що будь-яке число в 0 мірою це 1. Потім ми перевіряємо, є ступінь негативним числом або позитивним: якщо вона негативна, то ділимо одиницю на наш результат. Виконання цього завдання за допомогою циклу while робиться майже так само.

Використання циклу while при зведенні в ступінь

Використання циклу while більш правильно, ніж for, але для розуміння простіше попередній варіант. Навряд чи можна варто обмежуватися одним лише циклом for, для розуміння буде краще подивитися кілька прикладів, та й завдання буває поставлена по-різному, кому-то одним циклом, кому-то іншим, саме тому ми розберемо ще один спосіб зведення в ступінь.

Все майже так само, як і раніше. Вводимо два числа х і у. Надаємо нашому результату значення одиниці, щоб зводити в нульову ступінь. Потім створюємо лічильник i і присвоюємо йому значення модуля нашої ступеня. Цикл триває до тих пір, поки лічильник не дорівнює нулю, якщо ступінь з самого початку дорівнює нулю, то цикл не буде виконуватися, результат так і залишиться одиницею, як і повинно бути, адже будь-яке число в нульовому ступені - це одиниця. У самому циклі ми все так же вважаємо результат, множачи вже отриманий результат на наше число х, не забуваємо віднімати з нашого лічильника одиницю, інакше ми ніколи не дійдемо до нуля. Ну а потім так само, як вище, перетворення, якщо ступінь була негативною. Нічого складного, як виявилося. Втім, ніхто і не сумнівався.

Що ж, зі звичайними числами ми закінчили, але ж є не тільки такі числа.

Поняття комплексних чисел

Нам з самого початку шкільного навчання пояснюють тільки звичайні числа, але є ж ще і інші, наприклад, комплексні числа. Вони досить складні в поданні, особливо з огляду на те, що нас майже ніде не знайомлять з ними. У математичної записи вони мають вигляд z = x + yi, де x і y - це деякі числа, а i - уявна одиниця. Ви відразу подумали: так це ж звичайне число, варто просто провести операцію складання. Але ні, не все так просто. Це не сума, це саме число. Іншими словами, якщо спробувати уявити це все з точки зору геометрії, то можна замінити знак складання крапкою з комою, і вийдуть як би координати точки, x і y. І якщо побудувати нульовий вектор до цієї точки, то ми зможемо візуально побачити все це. Здається, тексту стало занадто багато, давайте трохи подивимося:

Якщо ми хочемо показати, що наша площину комплексна, досить помітити її жирної буквою C, як тут. Потім ми можемо бачити безліч точок, давайте подивимося на них і спробуємо зрозуміти, яка з них як записується. Беремо точку z_1, опускаємо проекцію на вісь ReZ і отримуємо 3, потім на вісь lmZ і отримуємо 1,75, в підсумку маємо число z₁= 3 + 1.75i. Начебто все зрозуміло, давайте ще раз, для закріплення. точка z₂, по горизонтальній осі - два, по вертикальній - чотири, в підсумку маємо: z₂= 2 + 4i. Все гранично зрозуміло і просто.

З комплексними числами можливі всі ті ж операції, що і з звичайними. Додавання, віднімання, множення, ділення. Але в цій статті ми детально зупинимося на зведенні комплексного числа в ступінь.

Піднесення до степеня комплексного числа

Що робити, якщо потрібно звести в ступінь комплексне число? Не панікуйте! Все точно так же, як зі звичайними числами, але трішки складніше. Почнемо з квадрата. Дано число z = 2 + 5i. Зводимо в квадрат, отримуємо z² = (2 + 5i)² = (2 + 5i) (2 + 5i) - а це звичайний двочлен, можна просто перемножити, привести подібні доданки і все. Це дуже просто, але що робити, коли потрібно звести в більш високу ступінь? Для початку має бути поданий наше число в тригонометричної формі, наприклад:

Потім необхідно скористатися формулою зведення комплексних чисел в тригонометричної формі: zⁿ= | Z |ⁿ * (Cos (nx) + i * sin (nx)). Можна помітити, що при зведенні комплексних чисел навіть в дуже великі ступеня вони сильно не змінюються, так що не лякайтеся, це складно, але з практикою все прийде.

Таким чином, тепер ви знаєте, як зводити числа в ступінь в математиці, на мові програмування паскаль, також дізналися, що таке комплексні числа і як їх підносити до степеня. Все виявилося куди простіше, ніж ви думали. Чи не так? Залишається лише спробувати все на своєму досвіді, і все встане на свої місця. Будь-яке завдання, пов`язана зі зведенням до степеня, тепер вирішується дуже легко для вас.