Як знайти квадратний корінь? Властивості, приклади вилучення кореня
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання…
Тема про квадратні корені є обов`язковою в шкільній програмі курсу математики. Без них не обійтися при вирішенні квадратних рівнянь. А пізніше з`являється необхідність не тільки витягати коріння, але й виконувати з ними інші дії. Серед них досить складні: зведення в ступінь, множення і ділення. Але є і досить прості: віднімання і додавання коренів. До речі, вони тільки на перший погляд здаються такими. Виконати їх без помилок не завжди виявляється просто для того, хто тільки починає з ними знайомитися.
Ця дія виникло на противагу зведення в ступінь. Математика передбачає наявність двох протилежних операцій. На складання існує віднімання. Множенню протистоїть розподіл. Зворотна дія ступеня - це витяг відповідного кореня.
Якщо в ступеня варто двійка, то і корінь буде квадратним. Він є найпоширенішим у шкільній математиці. У нього навіть немає вказівки, що він квадратний, тобто біля нього не приписується цифра 2. Математична запис цього оператора (радикала) представлена на малюнку.
З описаного дії плавно випливає його визначення. Щоб витягти квадратний корінь з деякого числа, потрібно з`ясувати, яке дасть при множенні на себе подкоренное вираз. Це число і буде квадратним коренем. Якщо записати це математично, то вийде наступне: х * х = х2= У, значить radic-у = х.
За своєю суттю корінь - це подрібнена ступінь, у якій в чисельнику стоїть одиниця. А знаменник може бути будь-яким. Наприклад, у квадратного кореня він дорівнює двом. Тому всі дії, які можна виконати зі ступенями, будуть справедливі і для коренів.
І вимоги до цих дій у них однакові. Якщо множення, ділення і піднесення до степеня незустрічають труднощів у учнів, то складання коренів, як і їх віднімання, іноді бентежить. А все тому що хочеться виконати ці операції без оглядки на знак кореня. І тут починаються помилки.
Спочатку потрібно запам`ятати два категоричних «не можна»:
Наочний приклад першого заборони: radic-6 + radic-10 ne- radic-16, але radic- (6 + 10) = radic-16.
У другому випадку краще обмежитися спрощенням самих коренів. А у відповіді залишити їх суму.
У ситуації, коли завдання не вимагає точного значення кореня, його можна обчислити на калькуляторі. Нескінченну десяткову дріб, яка висвітиться в його віконці, округлити. Найчастіше це роблять до сотих. А потім виконувати всі операції для десяткових дробів.
Рекомендація: після розкладання на прості множники потрібно зробити перевірку. Тобто помножити їх один на одного, щоб переглянути, чи виходить початкове значення.
Це вся інформація про те, як виконується складання коренів. Приклади, розташовані нижче, проілюструють вищесказане.
Обчислити значення виразів:
а) radic-2 + 3radic-32 + frac12- radic-128 - 6radic-18;
б) radic-75 - radic-147 + radic-48 - 1/5 radic-300;
в) radic-275 - 10radic-11 + 2radic-99 + radic-396.
Рішення.
а) Якщо слідувати наведеним вище алгоритмом, то видно, що для перших двох дій в цьому прикладі нічого немає. Зате можна спростити деякі подкоренное вираження.
Наприклад, 32 розкласти на два множники 2 і 16- 18 буде дорівнює добутку 9 і 2 128 - це 2 на 64. З огляду на це, вираз буде записано так:
radic-2 + 3radic- (2 * 16) + frac12- radic- (2 * 64) - 6 radic- (2 * 9).
Тепер потрібно винести з-під знака радикала ті множники, які дають квадрат числа. Це 16 = 42, 9 = 32, 64 = 82. Вираз прийме вигляд:
radic-2 + 3 * 4radic-2 + frac12- * 8 radic-2 - 6 * 3radic-2.
Потрібно трохи спростити запис. Для цього проводиться множення коефіцієнтів перед знаками кореня:
radic-2 + 12radic-2 + 4 radic-2 - 12radic-2.
У цьому виразі всі складові виявилися подібними. Тому їх потрібно просто скласти. У відповіді вийде: 5radic-2.
б) Подібно до попереднього прикладу, складання коренів починається з їх спрощення. Подкоренное вираження 75, 147, 48 і 300 будуть представлені такими парами: 5 і 25, 3 і 49, 3 і 16, 3 і 100. У кожній з них є число, яке можна винести з-під знака кореня:
5radic-5 - 7radic-3 + 4radic-3 - 1/5 * 10radic-3.
Після спрощення виходить відповідь: 5radic-5 - 5radic-3. Його можна залишити в такому вигляді, але краще винести загальний множник 5 за дужку: 5 (radic-5 - radic-3).
в) І знову розкладання на множники: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Після винесення множників з-під знака кореня маємо:
5radic-11 - 10radic-11 + 2 * 3radic-11 + 6radic-11. Після приведення подібних доданків отримаємо результат: 7radic-11.
radic- (45/4) - radic-20 - 5radic- (1/18) - 1/6 radic-245 + radic- (49/2).
На множники потрібно буде розкласти такі числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогічно вже розглянутим, потрібно винести множники з-під знака кореня і спростити вираз:
3/2 radic-5 - 2radic-5 - 5/3 radic- (frac12-) - 7/6 radic-5 + 7 radic- (frac12-) = (3/2 - 2 - 7/6) radic-5 - (5/3 - 7) radic- (frac12-) = - 5/3 radic-5 + 16/3 radic- (frac12-).
Цей вислів вимагає того, щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику. Для цього потрібно помножити на radic-2 / radic-2 другий доданок:
- 5/3 radic-5 + 16/3 radic- (frac12-) * radic-2 / radic-2 = - 5/3 radic-5 + 8/3 radic-2.
Для повноти дій потрібно виділити цілу частину у множників перед країнами. У першого вона дорівнює 1, у другого - 2.
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання…
Сучасні технології створюють дивовижні комп`ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в обсязі і покриття їх в…
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають…
Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Часто учні обурено запитують: «Як мені в житті це стане в нагоді?». На будь-яку тему кожного предмета. Чи…
Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при…
Дробу і їх скорочення - ще одна тема, яка починається в 5 класі. Тут формується база цієї дії, а потім ці вміння…
На просте запитання «Як знайти висоту трапеції?» Існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути надані…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність,…
Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали,…
Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як…
Скільки гнівних слів сказано в його адресу? Часом здається, що кубічний корінь неймовірно сильно відрізняється від…
В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Без знання того, як скоротити дріб, і наявності стійкого досвіду у вирішенні подібних прикладів дуже непросто вивчати в…
Діагональ куба - це один з елементів, який буде потрібно знати при вирішенні завдань по стереометрії під час виконання…