Як знайти квадратний корінь? Властивості, приклади вилучення кореня
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання…
В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять його вірним рівністю. Шляхи пошуку рішень визначаються початковим видом рівняння. Від нього ж буде залежати і кількість вірних значень змінної, які позначаються, як корінь рівняння. Це число може варіюватися від нуля до нескінченності.
З назви зрозуміло, що воно прирівнює дві величини, які можуть бути представлені числовими або літерними виразами. Крім того, вони містять ще невідомі величини. Найпростіше рівняння має тільки одну.
Видів рівнянь велика кількість, але поняття кореня для них завжди один і той же. Корінь рівняння - це таке значення невідомого числа, при якому рівняння приймає стає вірним рівністю. Бувають ситуації, коли таких чисел декілька, тоді невідома називається змінною.
Пошук всіх можливих коренів рівняння є його рішенням. Тобто потрібно виконати ряд математичних дій, які його спрощують. А потім призводять до рівності, в якому міститься тільки невідома і будь-яке число.
В алгебрі при вирішенні рівнянь можна прийти до такої ситуації, що коріння не буде зовсім. Тоді говорять про те, що воно нерозв`язною. А у відповіді такого рівняння потрібно записати, що рішень немає.
Але іноді буває і протилежне. Тобто в процесі численних перетворень з`являються сторонні корені. Вони не дадуть вірного рівності при підстановці. Тому числа завжди потрібно перевіряти, щоб уникнути ситуації з зайвими корінням у відповіді. Інакше рівняння не буде вважатися вирішеним.
Воно завжди може бути перетворено в запис наступного виду: а * х + у = 0. У ньому «а» завжди не дорівнює нулю. Щоб зрозуміти скільки коренів має рівняння, його потрібно вирішити в загальному вигляді.
Алгоритм перетворень:
Загальний вигляд вирішення такого:
х = -в / а.
З нього ясно, що відповіддю буде одне число. Тобто всього один корінь.
Його загальний вигляд: а * х2 + в * х + с = 0. Тут коефіцієнти є будь-якими числами, крім першого, «а», яке не може бути рівним нулю. Адже тоді воно автоматично перетвориться в лінійне. Відповідь на питання, скільки коренів має рівняння, вже не буде настільки однозначним, як це було в попередньому випадку.
Все буде залежати від значення дискримінанту. Він обчислюється за формулою Д = в2 - 4 а * з. Після розрахунків «Д» може вийти більше, менше або рівним нулю. У першому випадку коріння рівняння буде два, у другому відповіддю буде «коренів немає», а третя ситуація дасть тільки одне значення невідомою.
У загальному випадку, коли «Д» позитивне число, не рівне нулю, потрібно використовувати таку формулу:
х1,2 = (-н ± radic-Д) / (2 * а).
Тут завжди вийде дві відповіді. Це пов`язано з тим, що у вихідній формулі стоїть знак «плюс / мінус». Він істотно змінює значення невідомою.
У разі рівного розподілу «Д» нулю корінь рівняння - це єдине число. Просто тому що квадратний корінь з нуля дорівнює нулю. А значить, додавати і віднімати потрібно буде нуль. Від цього число не зміниться. Тому формулу кореня рівняння можна записати без згадки "Д":
х = (-н) / (2 * а).
"
При від`ємному значенні дискримінанту витягти з нього квадратний корінь не представляється можливим. Тому коренів у такого рівняння не буде.
Зауваження. Це вірно для курсу шкільної програми, в якій не вивчаються комплексні числа. Коли вони вводяться, то виходить, що і в цій ситуації відповідей буде два.
Йдеться про теорему Вієта. Вона дійсна у разі, коли квадратне рівняння записується в дещо іншому вигляді:
х2 + в * х + с = 0.
"
Тоді формула коренів квадратного рівняння зводиться до того, щоб виконати рішення двох лінійних:
х1 + х2 = -в
і
х1 * х2 = С.
"Воно вирішується за рахунок того, що з першого виводиться вираз для одного з коренів. І це значення потрібно підставити в друге. Так буде знайдений другий корінь, а потім перший.
До цього варіанту завжди можна прийти від загального вигляду квадратного рівняння.
Досить тільки розділити всі коефіцієнти на «а».
Вирішувати рівняння і знаходити всі можливі числа, які підійдуть для відповіді. А потім вибрати найменше. Це і буде найменший корінь рівняння.
Найчастіше такі питання зустрічаються в завданнях, які мають ступінь більшу, ніж 2, або містять тригонометричні функції. Прикладом, коли потрібно знайти найменший корінь, може служити така рівність:
2 х5 + 2 х4 - 3 х3 - 3 х2 + х + 1 = 0.
Щоб знайти кожне значення, яке можна назвати "корінь рівняння", це рівність потрібно перетворити. Перша дія: згрупувати його члени попарно: перший з другим і так далі. Потім з кожної пари винести загальний множник.
У кожній скобці залишиться (х + 1). Загальним множником в першій з пар буде 2 х4, у другій 3 х2. Тепер знову потрібно виконати винесення загального множника, яким буде однакова дужка.
Після множника (х + 1) буде стояти (2 х4 - 3 х2 + 1). Твір двох множників дорівнює нулю, тільки якщо один з них приймає значення, рівне нулю.
Перша дужка дорівнює нулю при х = -1. Це буде одним з коренів рівняння.
Інші будуть отримані з рівняння, утвореного другий дужкою, прирівняної до нуля. Воно біквадратне. Для його вирішення потрібно ввести позначення: х2 = У. Тоді рівняння істотно зміниться і прийме звичний вид квадратного рівняння.
Його дискримінант дорівнює Д = 1. Він більше нуля, отже коренів буде два. Перший корінь виявляється рівним 1, другий буде 0,5. Але це значення для «у».
Потрібно повернутися до введеного позначення. х1,2 = ± 1, х3,4 = ± radic-0,5. Все коріння рівняння: -1- 1 -radic-0,5- radic-0,5. Найменший з них - -1. Це відповідь.
Нагадування: всі рівняння потрібно перевіряти на те, чи підходить корінь. Може бути, він сторонній? Варто виконати перевірку запропонованого прикладу.
Якщо підставити в початково дане рівняння замість "х" одиницю, то виходить, що 0 = 0. Цей корінь вірний.
Якщо х = -1, то виходить такий же результат. Корінь теж підходящий.
Аналогічно, при значеннях "х" рівних -radic-0,5 і radic-0,5 знову виходить правильне рівність. Все коріння підходять.
Цей приклад не дав сторонніх коренів. Таке буває не завжди. Цілком могло виявитися, що найменше значення не підходило б під час перевірки. Тоді довелося б вибирати з решти.
Висновок: треба пам`ятати про перевірку і уважно підходити до вирішення.
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання…
Сучасні технології створюють дивовижні комп`ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в обсязі і покриття їх в…
Навчитися розв`язувати рівняння - це одна з головних задач, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з…
Під час навчання студенти дуже часто стикаються з різноманітними рівняннями. Одне з них - рівняння регресії -…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше…
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають…
Куб - дивовижна фігура. Він однаковий з усіх боків. Будь-яка його грань може вмить стати підставою або бічній. І від…
Тема про квадратні корені є обов`язковою в шкільній програмі курсу математики. Без них не обійтися при вирішенні…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті…
Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при…
Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність,…
Скільки гнівних слів сказано в його адресу? Часом здається, що кубічний корінь неймовірно сильно відрізняється від…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Адіабатний процес (в деяких джерелах згадується як адіабатичний) - це термодинамічний процес, який відбувається за…
Трикутник - добре знайома всім фігура. І це, незважаючи на все різноманіття його форм. Прямокутний, рівносторонній,…