Рівняння регресії. Рівняння множинної регресії
Під час навчання студенти дуже часто стикаються з різноманітними рівняннями. Одне з них - рівняння регресії -…
Навчитися розв`язувати рівняння - це одна з головних задач, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до все більш складним. Якщо не засвоєні дії, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.
Для продовження розмови потрібно домовитися про позначеннях.
Назва величини | її позначення |
змінна | х, у |
будь-яке число | а, в, з |
Будь-яке рівняння, яке можна привести до запису такого виду:
називається лінійним. Це загальна формула. Але часто в завданнях лінійні рівняння записані в неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйняту запис. До цих дій відносяться:
У разі коли невідома величина варто в знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, при яких вираз не матиме сенсу. Іншими словами, потрібно було дізнатися область визначення рівняння.
Принцип, за яким вирішуються всі лінійні рівняння, зводиться до того, щоб розділити значення в правій частині рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» буде дорівнює в / а.
Під час міркувань можуть виникати такі моменти, коли лінійні рівняння приймають один з особливих видів. Кожен з них має конкретне рішення.
У першій ситуації:
Рішенням такого рівняння завжди буде х = 0.
У другому випадку «а» набуває значення рівне нулю:
Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто у нього нескінченну кількість коренів.
Третя ситуація виглядає так:
Це рівняння не має сенсу. Тому що корінь, що задовольняють йому, не існує.
З його назви стає ясно, що невідомих величин в ньому вже дві. Лінійні рівняння з двома змінними виглядають так:
Оскільки в запису зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповний відповідь. Пара величин, при яких рівняння перетворюється в тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першої записують ту змінну, яка йде раніше за алфавітом. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути нескінченна кількість.
Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться вірною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівній якомусь простому числу, а потім знайти другу.
При вирішенні часто доводиться виконувати дії для спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:
Перше завдання. Вирішити лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х) - (5х + 15) / (х + 4) = 4 (5х + 15) / (х + 3) = 4.
У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати розподіл 20 на 4. Результат буде дорівнює 5. Це і є відповідь: х = 5.
Третє рівняння вимагає того, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно буде полягати в розкритті дужок і приведення подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім потрібно перенести всі невідомі в ліву частину рівності, а решта - в праву. Рівняння стане виглядати так: 8х + 2х +4 х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його знаходиться легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці покладається виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» буде дорівнює однієї цілої і однієї сьомої.
В інших прикладах змінні знаходяться в знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, при яких значеннях рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, при яких знаменники звертаються в нуль. У першому з прикладів це «-4», в другому воно «-3». Тобто ці значення потрібно виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вираження в знаменнику.
Розкривши дужки і привівши подібні доданки, в першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а в другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним «-3», це означає, що останнім рішень не має.
Друге завдання. Вирішити рівняння: -7х + 2у = 5.
Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння прийме вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і помінявши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у = 6. Відповідь: одне з рішень рівняння х = 1, у = 6.
Всі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:
Загалом, воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.
Так само як лінійні рівняння, і нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:
У завданнях можуть бути представлені такі варіанти нерівностей:
Подвійними воно називається, тому що обмежена знаками нерівності з двох сторін. Воно вирішується за допомогою тих же правил, що і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до ряду тотожних перетворень. Поки не буде отримано найпростіше.
Першою з них є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностей немає необхідності. А ось в складних випадках він може бути просто необхідним.
Для зображення нерівності потрібно відзначити на осі всі крапки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, які позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, утворені після перетворень. Тут теж важливо правильно намалювати точки. Якщо нерівність суворе, тобто lt; або>, то ці значення виколоті. У нестрогих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.
Потім покладається позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їх перетин вкаже відповідь.
Друга особливість пов`язана з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший - це остаточне нерівність. Другий - у вигляді проміжків. Ось з ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності і дужок з числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ «і». Ці знаки виглядають так: isin- і cap-. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точка виключена з відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак безкінечності завжди стоїть в круглої дужки.
1. Вирішити нерівність 7 - 5х ge- 37.
Після нескладних перетворень виходить: -5х ge- 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х le- -6. Це вже відповідь, але його можна записати і по-іншому: х isin- (-infin-- -6].
2. Вирішіть подвійне нерівність -4 lt; 2x + 6 le- 8.
Спочатку потрібно всюди відняти 6. Вийде: -10 lt; 2x le- 2. Тепер потрібно розділити на 2. Нерівність набуде вигляду: -5 lt; x le- 1. Зобразивши відповідь на числової осі, відразу можна зрозуміти, що результатом буде проміжок від -5 до 1. Причому перша точка виключена, а друга включена. Тобто відповідь у нерівності такий: х isin- (-5- 1].
Під час навчання студенти дуже часто стикаються з різноманітними рівняннями. Одне з них - рівняння регресії -…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше…
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають…
Куб - дивовижна фігура. Він однаковий з усіх боків. Будь-яка його грань може вмить стати підставою або бічній. І від…
Тема про квадратні корені є обов`язковою в шкільній програмі курсу математики. Без них не обійтися при вирішенні…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті…
Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при…
Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше…
У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність,…
Що таке матеріальна точка? Які фізичні величини пов`язані з нею, для чого взагалі вводиться поняття матеріальної точки?…
При слові "дроби" у багатьох біжать мурашки. Тому що згадується школа і завдання, які вирішувалися на математиці. Це…
В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Ізобарний процес (також званий изобарического процесом) є одним з термодинамічних процесів, які відбуваються при…
Адіабатний процес (в деяких джерелах згадується як адіабатичний) - це термодинамічний процес, який відбувається за…
Трикутник - добре знайома всім фігура. І це, незважаючи на все різноманіття його форм. Прямокутний, рівносторонній,…
Рівняння в математиці так само важливі, як дієслова в російській мові. Без вміння знаходити корінь рівняння складно…