Як знайти корінь рівняння: лінійного, квадратного, кубічного?

Рівняння в математиці так само важливі, як дієслова в російській мові. Без вміння знаходити корінь рівняння складно стверджувати, що учень засвоїв курс алгебри. До того ж для кожного їх виду існують свої особливі шляхи вирішення.

Що це таке?

Рівняння - це два довільних вирази, що містять змінні величини, між якими поставлено знак рівності. Причому кількість невідомих величин може бути довільним. Мінімальна кількість - одна.

Вирішити його - це значить дізнатися, чи є корінь рівняння. Тобто число, яке перетворює його в правильне рівність. Якщо його немає, то відповіддю є твердження, що «коріння немає». Але може бути і протилежне, коли відповіддю є безліч чисел.

Які види рівнянь існують?

Лінійне. Воно містить змінну, ступінь якої дорівнює одиниці.

• Квадратне. Мінлива варто зі ступенем 2, або перетворення призводять до появи такої міри.
• Рівняння надзвичайно.
• Дрібно-раціональне. Коли змінна величина виявляється в знаменнику дробу.
• З модулем.
• Ірраціональне. Тобто таке, яке містить алгебраїчний корінь.

Як вирішується лінійне рівняння?

Воно є основним. До такого виду прагнуть привести всі інші. Так як у нього знайти корінь рівняння досить просто.

• Спочатку потрібно виконати можливі перетворення, тобто розкрити дужки і привести подібні доданки.
• Перенести всі одночлени зі змінною величиною в ліву частину рівності, залишивши вільні члени в правій.
• Привести подібні члени в кожній частині решаемого рівняння.
• В отриманому рівність в лівій його половині буде стояти твір коефіцієнта і змінної, а в правій - число.
• Залишилося знайти корінь рівняння, розділивши число праворуч, на коефіцієнт перед невідомою.

Як знайти коріння квадратного рівняння?

Спочатку його потрібно привести до стандартного вигляду, тобто розкрити всі дужки, привести подібні доданки і перенести всі одночлени в ліву частину. У правій частині рівності повинен залишитися тільки нуль.

• Скористайтеся формулою для дискримінанту. Зведіть в квадрат коефіцієнт перед невідомою зі ступенем «1». Перемножте вільний одночлен і число перед змінної в квадраті з числом 4. З отриманого квадрата відніміть твір.
• Оцініть значення дискримінанту. Він негативний - рішення закінчено, так як у нього коріння немає. Дорівнює нулю - відповіддю буде одне число. Позитивний - два значення у змінної.

• 

  Знайдіть два кореня рівняння за формулою, в якій квадратний корінь з дискриминанта потрібно відняти або скласти з негативним коефіцієнтом при змінної в першій мірі. Потім розділити на подвоєний коефіцієнт, що стоїть перед квадратом невідомою. (У разі рівності дискримінанту нулю додавати або віднімати потрібно буде нуль, тому два кореня співпадуть.)

Як вирішити кубічне рівняння?

Спочатку знайдіть корінь рівняння x. Він визначається методом підбору з чисел, які є дільниками вільного члена. Цей спосіб зручно розглянути на конкретному прикладі. Нехай рівняння має вигляд: х³ - 3х² - 4х + 12 = 0.

Його вільний член дорівнює 12. Тоді делителями, які потрібно перевірити, будуть позитивні і негативні числа: 1, 2, 3, 4, 6 і 12. Перебір можна закінчити вже на числі 2. Воно дає вірне рівність в рівнянні. Тобто його ліва частина виявляється рівною нулю. Значить число 2 - це перший корінь кубічного рівняння.

Тепер необхідно розділити вихідне рівняння на різницю змінної і першого кореня. У конкретному прикладі це (х - 2). Нескладне перетворення призводить чисельник до такого розкладу на множники: (х - 2) (х + 2) (х - 3). Однакові множники чисельника і знаменника скорочуються, а що залишилися дві дужки при розкритті дають просте квадратне рівняння: х² - х - 6 = 0.

Тут знайдіть два кореня рівняння за принципом, описаного в попередньому розділі. Ними виявляються числа: 3 і -2.

Разом, у конкретного кубічного рівняння вийшло три кореня: 2, -2 і 3.

Як вирішуються системи лінійних рівнянь?

Тут запропонований метод виключення невідомих. Він полягає в тому, щоб висловити одну невідому через іншу в одному рівнянні і підставити цей вираз в інше. Причому рішенням системи з двох рівнянь з двома невідомими завжди є пара змінних величин.

Якщо в них змінні позначені буквами х₁ і х₂, то можна з першого рівності вивести, наприклад, х₂. Потім воно підставляється в друге. Проводиться необхідне перетворення: розкриття дужок і приведення подібних членів. Виходить просте лінійне рівняння, коріння якого обчислити легко.

Тепер поверніться до першого рівняння і знайдіть корінь рівняння x₂, використовуючи вийшло рівність. Ці два числа є відповіддю.

проста порада

Для того щоб бути впевненим в отриманій відповіді, рекомендується завжди робити перевірку. Її не обов`язково записувати.

Якщо вирішується одне рівняння, то кожен з його коренів потрібно підставити у вихідне рівність і отримати однакові числа в обох його частинах. Все зійшлося - рішення вірне.

При роботі з системою коріння необхідно підставляти в кожне рішення і виконувати всі можливі дії. Виходить вірне рівність? Значить рішення правильне.