Прямокутний трикутник і його властивості
Прямокутний трикутник - трикутник, один кут якого прямий (дорівнює 900). Отже, два інших кута в сумі дають 900.Сторони…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше сказати, остання є окремим випадком першої. Цей момент, а також два способи доведення теореми косинусів допоможуть стати більш знаючим людиною. До того ж практика в вираженні величин з вихідних виразів добре розвиває логічне мислення. Довга формула досліджуваної теореми обов`язково змусить потрудитися і посовершенствоваться.
Ця теорема формулюється і доводиться для довільного трикутника. Тому нею можна скористатися завжди, в будь-якій ситуації, якщо дано дві сторони, а в деяких випадках три, і кут, причому необов`язково між ними. Яким би не був вид трикутника, теорема спрацює завжди.
А тепер про позначення величин у всіх виразах. Краще відразу домовитися, щоб потім кілька разів не пояснювати. Для цього складена наступна таблиця.
елемент трикутника | його позначення |
Невідома сторона | а |
Дві інші сторони | в, з |
Кут, що лежить навпроти невідомої сторони | А |
Кути, які лежать проти інших сторін | В, С |
Висота з вершини трикутника | н |
Отже, формулюється теорема косинусів наступним чином:
Квадрат сторони будь-якого трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих же сторін на косинус кута, лежачого між ними.
Звичайно, воно довге, але якщо зрозуміти його суть, то запам`ятати буде просто. Можна навіть уявляти собі креслення трикутника. Наочно завжди простіше запам`ятовувати.
Формула ж цієї теореми буде виглядати так:
а2 = в2 + з2 - 2 * в * с * cos А.
Трохи довго, але все логічно. Якщо трохи уважніше подивитися, то можна побачити, що букви повторюються, отже, і запам`ятати її нескладно.
Оскільки вона справедлива для всіх трикутників, то можна вибрати для міркувань будь-який з видів. Нехай це буде фігура з усіма гострими кутами. Розглянемо довільний гострокутний трикутник, у якого кут С більше, ніж кут В. З вершини з цим великим кутом потрібно опустити перпендикуляр на протилежну сторону. Проведена висота розділить трикутник на два прямокутних. Це потрібно для доказу.
Сторона виявиться розділеною на два відрізки: х, у. Їх потрібно висловити через відомі величини. Та частина, яка виявиться в трикутнику з гіпотенузою, що дорівнює в, виразиться через запис:
х = в * cos А.
Інша буде дорівнює такій різниці:
у = с - в * cos А.
Тепер потрібно записати теорему Піфагора для двох одержані в результаті побудови прямокутних трикутників, приймаючи за невідому величину висоту. Ці формули будуть виглядати так:
н2 = в2 - (В * cos А)2,
н2 = а2 - (С - в * cos А)2.
У цих равенствах стоять однакові вирази зліва. Значить, їх праві частини теж будуть рівні. Це просто записати. Тепер потрібно розкрити дужки:
в2 - в2 * (Cos А)2 = а2 - з2 + 2 з * в * cos А - в2 * (Cos А)2.
Якщо тут виконати перенос і приведення подібних доданків, то вийде початкова формула, яка записана після формулювання, тобто теорема косинусів. Доказ закінчено.
Воно набагато коротшим від попереднього. І якщо знати властивості векторів, то теорема косинусів для трикутника буде доведена просто.
Якщо сторони а, в, з позначити відповідно векторами ВС, АС і АВ, то справедливо рівність:
ВС = АС - АВ.
Тепер потрібно виконати деякі дії. Перше з них - це зведення в квадрат обох частин рівності:
ВС2 = АС2 + АВ2 - 2 АС * АВ.
Потім рівність потрібно переписати в скалярному вигляді, з огляду на те, що твір векторів дорівнює косинусу кута між ними на їх скалярні значення:
ВС2 = АС2 + АВ2 - 2 АС * АВ * cos А.
Залишилося тільки повернутися до старих позначенням, і знову вийде теорема косинусів:
а2 = в2 + з2 - 2 * в * с * cos А.
Щоб знайти сторону, з теореми косинусів потрібно витягти квадратний корінь. Формула для квадратів однієї з інших сторін буде виглядати так:
з2 = а2 + в2 - 2 * а * в * cos C.
Щоб записати вираз для квадрата сторони в, потрібно в попередньому рівність замінити з на в, і навпаки, і під косинусом поставити кут В.
З основної формули теореми можна виразити значення косинуса кута А:
cos А = (в2 + з2 - а2) / (2 в * с).
Аналогічно виводяться формули для інших кутів. Це хороша практика, тому можна спробувати написати їх самостійно.
Природно, що запам`ятовувати ці формули немає необхідності. Досить розуміння теореми і вміння вивести ці вирази з її основних даних.
Вихідна формула теореми дає можливість знайти сторону, якщо кут лежить не між двома відомими. Наприклад, потрібно знайти в, коли дані величини: а, з, А. або невідома з, зате є значення а, в, А.
У цій ситуації потрібно перенести всі складові формули в ліву сторону. Вийде така рівність:
з2 - 2 * в * с * cos А + в2 - а2 = 0.
Перепишемо його трохи в іншому вигляді:
з2 - (2 * в * cos А) * з + (в2 - а2) = 0.
Можна легко побачити квадратне рівняння. У ньому невідома величина - з, а всі інші дані. Тому його досить вирішити за допомогою дискримінанту. Так буде знайдена невідома сторона.
Аналогічно виходить формула для другої сторони:
в2 - (2 * с * cos А) * в + (з2 - а2) = 0.
З інших виразів такі формули теж легко отримати самостійно.
Якщо уважно подивитися на формулу косинуса кута, виведену раніше, то можна помітити наступне:
Кут А буде:
До речі, остання ситуація звертає теорему косинусів в теорему Піфагора. Тому що для кута в 90ordm- його косинус дорівнює нулю, і останній доданок зникає.
Умова
Тупий кут деякого довільного трикутника дорівнює 120ordm-. Про сторонах, якими він обмежений, відомо, що одна з них більша за іншу на 8 см. Відома довжина третьої сторони, це 28 см. Потрібно знайти периметр трикутника.
Рішення
Спочатку потрібно позначити одну зі сторін буквою «х». В такому випадку інша буде дорівнює (х + 8). Оскільки є вираження для всіх трьох сторін, можна скористатися формулою, яку дає теорема косинусів:
282 = (Х + 8)2 + х2 - 2 * (х + 8) * х * cos 120ordm-.
У таблицях для косинусів потрібно знайти значення, відповідне 120 градусам. Це буде число 0,5 зі знаком мінус. Тепер належить розкрити дужки, дотримуючись усіх правил, і привести подібні доданки:
784 = х2 + 16х + 64 + х2 - 2х * (-0,5) * (х + 8);
784 = 2х2 + 16х + 64 + х2 + 8х;
3х2 + 24х - 720 = 0.
Це квадратне рівняння вирішується через знаходження дискримінанту, який буде дорівнює:
Д = 242 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Оскільки його значення більше нуля, то рівняння має два відповіді-кореня.
х1 = ((-24) + radic- (9216)) / (2 * 3) = 12;
х2 = ((-24) - radic- (9216)) / (2 * 3) = -20.
Останній корінь не може бути відповіддю завдання, тому що сторона обов`язково повинна бути позитивною.
Отже, дві сторони відомі. Легко знайти третю: 12 + 8 = 20 (см). Тепер можна відповісти на питання завдання. Периметр трикутника визначається як сума всіх сторін:
24 + 12 + 20 = 60 (см).
відповідь: Периметр дорівнює 60 сантиметрам.
Умова
У трикутнику відомі: з, рівне 2 см- а, яке становить 10 см-кут З величиною 120ordm-. Потрібно знайти сторону в.
Рішення
Для початку потрібно скористатися теоремою косинусів і вивести з неї формулу квадратного рівняння, в якій невідомої буде величина в:
з2 = а2 + в2 - 2 * а * в * cos C
і
в2 - (2 * а * cos С) * в + (а2 - з2) = 0.
У неї потрібно підставити всі відомі в умови величини:
в2 - (2 * 10 * cos 120ordm-) * в + (102 - 22) = 0.
Тепер потрібно порахувати те, що можливо, щоб спростити вираз:
в2 - (20 * (-1/2)) * в + (100 - 4) = 0
або
в2 + 10 * в - 96 = 0.
Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через знаходження дискримінанту:
Д = (10)2 - 4 * 1 * (-96) = 484.
За формулами потрібно зробити обчислення для невідомої сторони:
в1 = (- 10 + 22) / 2 = 6 (см);
в2 = (- 10 - 22) / 2 = - 16 - цей корінь не задовольняє вирішення завдання, тому що сторона не може бути негативною.
відповідь: невідома сторона дорівнює 6 см.
Умова
В деякому трикутнику дано боку: а, в, з, які відповідно рівні 6 см, 10 см і 8 см. Потрібно обчислити кут А.
Рішення
Знову потрібно скористатися теоремою косинусів. Використовується та її запис, в якій є косинус кута А, оскільки саме його необхідно обчислити. Ось написана відразу формула для косинуса невідомого кута:
cos А = (в2 + з2 - а2) / (2 в * с).
Залишилося підставити значення сторін і виконати всі обчислення:
cos А = (102 + 82 - 62) / (2 * 8 * 10).
Після зведення всіх доданків в квадрат і множення чисел з знаменника:
cos А = (100 + 64 - 36) / (160).
Після складання і розподілу виходить:
cos А = 128/160 = 0,8.
Тепер потрібно скористатися таблицею Брадіса, щоб дізнатися, чому дорівнює кут А. Найближче значення кута для цього косинуса становить 36ordm-54 `.
Відповідь: значення кута А одно 36ordm-54 `.
Прямокутний трикутник - трикутник, один кут якого прямий (дорівнює 900). Отже, два інших кута в сумі дають 900.Сторони…
Є кілька способів вирішення цієї геометричної задачі. Вони описані в статті.За допомогою сторін і кутівОтже, перший…
Математика - шкільний предмет, який вивчається усіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма улюблена. Часом…
Математика - це дивовижна наука. Однак така думка приходить тільки тоді, коли її розумієш. Щоб цього досягти, потрібно…
Шкільна програма передбачає навчання дітей геометрії з раннього віку. Одне з найбільш базових знань цієї області - це…
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають…
Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Часто учні обурено запитують: «Як мені в житті це стане в нагоді?». На будь-яку тему кожного предмета. Чи…
Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше…
На просте запитання «Як знайти висоту трапеції?» Існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути надані…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали,…
Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як…
В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Перші історики нашої цивілізації - стародавні греки - згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не…
Знання про те, як знайти периметр, учні отримують ще в початковій школі. Потім ця інформація постійно використовується…