Прямокутний трикутник і його властивості
Прямокутний трикутник - трикутник, один кут якого прямий (дорівнює 900). Отже, два інших кута в сумі дають 900.Сторони…
Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх сторін цього багатокутника.
Коли відомі їх значення, то зробити це нескладно. Позначивши ці параметри буквами m, n, k, а периметр буквою P, отримаємо формулу для обчислення: P = m + n + k. Завдання: Відомо, що трикутник має сторони довжиною 13,5 дециметрів, 12,1 дециметрів і 4,2 дециметра. Дізнатися периметр. Вирішуємо: Якщо сторони даного багатокутника - a = 13,5 дм, b = 12,1 дм, c = 4,2 дм, то P = 29,8 дм. Відповідь: P = 29,8 дм.
Такий трикутник називається рівнобедреним. Якщо ці рівні сторони мають довжину a сантиметрів, а третя сторона - b сантиметрів, то периметр легко дізнатися: P = b + 2a. Завдання: трикутник має дві сторони по 10 дециметрів, підстава 12 дециметрів. Знайти P. Рішення: Нехай бічна сторона a = c = 10 дм, підстава b = 12 дм. Сума сторін P = 10 дм + 12 дм + 10 дм = 32 дм. Відповідь: P = 32 дециметра.
Якщо всі три сторони трикутника мають рівну кількість одиниць виміру, він називається рівностороннім. Ще одна назва - правильний. Периметр правильного трикутника знаходять за допомогою формули: P = a + a + a = 3middot-a. Завдання: Маємо рівносторонній трикутний земельну ділянку. Одна сторона дорівнює 6 метрам. Знайти довжину забору, яким можна обнести цю ділянку. Рішення: Якщо сторона цього багатокутника a = 6м, то довжина забору P = 3middot-6 = 18 (м). Відповідь: P = 18 м.
Його називають прямокутним. Наявність прямого кута дає можливість знаходити невідомі сторони, користуючись визначенням тригонометричних функцій і теоремою Піфагора. Найдовша сторона називається гіпотенуза і позначається c. Є ще дві сторони, a і b. Дотримуючись теоремі, що носить ім`я Піфагора, маємо c2 = a2 + b2. Катети a = radic- (c2 - b2) І b = radic- (c2 - а2). Знаючи довжину двох катетів a і b, обчислюємо гипотенузу. Потім знаходимо суму сторін фігури, склавши ці значення. Завдання: Катети прямокутного трикутника мають довжину 8,3 сантиметра і 6,2 сантиметра. Периметр трикутника потрібно обчислити. Вирішуємо: Позначимо катети a = 8,3 см, b = 6,2 см. За теоремою Піфагора гіпотенуза c = radic- (8,32 + 6,22) = radic- (68,89 + 38,44) = radic-107,33 = 10,4 (см). P = 24,9 (см). Або P = 8,3 + 6,2 + radic- (8,32 + 6,22) = 24,9 (см). Відповідь: P = 24,9 см. Значення коренів брали з точністю до десятих. Якщо нам відомі значення гіпотенузи і катета, то значення Р отримаємо, обчисливши Р = radic- (c2 - b2) + B + c. Завдання 2: Відрізок земельної ділянки, що лежить проти кута в 90 градусів, 12 км, один з катетів - 8 км. За який час можна обійти всю ділянку, якщо рухатися зі швидкістю 4 кілометри на годину? Рішення: якщо найбільший відрізок - 12 км, менший b = 8 км, то довжина всього шляху складе P = 8 + 12 + radic- (122 - 82) = 20 + radic-80 = 20 + 8,9 = 28,9 (км). Час знайдемо, розділивши шлях на швидкість. 28,9: 4 = 7,225 (ч). Відповідь: можна обійти за 7,3 год. Значення квадратних коренів і відповіді беремо з точністю до десятих. Можна знайти суму сторін прямокутного трикутника, якщо дана одна зі сторін і значення одного з гострих кутів. Знаючи довжину катета b і значення протилежного йому кута beta-, знайдемо невідому сторону a = b / tg beta-. Знаходимо гипотенузу c = a: sinalpha-. Периметр такої фігури знаходимо, склавши отримані значення. P = a + a / sinalpha- + a / tg alpha-, або P = a (1 / sin alpha- + 1 + 1 / tg alpha-). Завдання: У прямокутному Delta- АВС з прямим кутом С катет ВС має довжину 10 м, кут А - 29 градусів. Потрібно знайти суму сторін Delta- АВС. Рішення: Позначимо відомий катет ВС = a = 10 м, кут, що лежить навпроти нього, А = alpha- = 30 °, тоді катет АС = b = 10: 0,58 = 17,2 (м), гіпотенуза АВ = c = 10: 0,5 = 20 (м). Р = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (м). Або Р = 10 middot- (1 + 1,72 + 2) = 47,2 м. Маємо: P = 47,2 м. Значення тригонометричних функцій беремо з точністю до сотих, значення довжини сторін і периметра округляємо до десятих. Маючи значення катета alpha- і прилеглого кута beta-, дізнаємося, чому дорівнює другий катет: b = a tg beta-. Гіпотенуза в такому випадку буде дорівнює катету, розділеному на косинус кута beta-. Периметр дізнаємося за формулою P = a + a tg beta- + a: cos beta- = (tg beta- + 1 + 1: cos beta-) middot-a. Завдання: Катет трикутника з кутом 90 градусів 18 см, прилегла кут - 40 градусів. Знайти P. Рішення: Позначимо відомий катет ВС = 18 см, beta- = 40 °. Тоді невідомий катет АС = b = 18 middot- 0,83 = 14,9 (см), гіпотенуза АВ = c = 18: 0,77 = 23,4 (см). Сума сторін фігури дорівнює Р = 56,3 (см). Або Р = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 см. Відповідь: P = 56,3 см. Якщо відома довжина гіпотенузи c і який-небудь кут alpha-, то катети будуть дорівнюють добутку гіпотенузи для першого - на синус і для другого - на косинус цього кута. Периметр цієї фігури P = (sin alpha- + 1+ cos alpha -) * c. Завдання: Гіпотенуза прямокутного трикутника АВ = 9,1 сантиметр, а кут 50 градусів. Знайти суму сторін даної фігури. Рішення: Позначимо гипотенузу: AB = c = 9,1 см, A = alpha- = 50 °, тоді один з катетів BC має довжину a = 9,1 middot- 0,77 = 7 (см), катет АС = b = 9,1 middot- 0,64 = 5,8 (см). Значить периметр цього багатокутника дорівнює P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (см). Або P = 9,1middot- (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (см). Відповідь: P = 21,9 сантиметрів.
Якщо ми маємо значення двох сторін a і c, і кута між цими сторонами gamma-, третю знаходимо теоремою косинусів: b 2 = з2 + a 2 - 2 ас cos beta-, де beta- - кут, що лежить між сторонами а і с. Потім знаходимо периметр. завдання: Delta- АВС має відрізок АВ довжиною 15 дм, відрізок АС, довжина которго 30,5 дм. Значення кута між цими сторонами 35 градусів. Обчислити суму сторін Delta- АВС. Рішення: Теоремою косинусів обчислимо довжину третьої сторони. BC2 = 30,52 + 152 - 2middot-30,5middot-15middot-0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 см. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (дм) .Імеем: P = 65,6 дм.
Коли знаємо довжину тільки одного відрізка і значення двох кутів, можна дізнатися довжину двох невідомих сторін, користуючись теоремою синусів: «в трикутнику сторони завжди пропорційні значенням синусів протилежних кутів». Звідки b = (a * sin beta -) / sin a. Аналогічно c = (a sin gamma-): sin a. Периметр в такому випадку буде P = а + (а sin beta -) / sin a + (a sin gamma -) / sin a. Завдання: Маємо Delta- ABC. У ньому довжина сторони BC 8,5 мм, значення кута C - 47 °, а кута B - 35 градусів. Знайти суму сторін даної фігури. Рішення: Позначимо довжини сторін BC = a = 8,5 мм, AC = b, AB = c, A = alpha- = 47 °, B = beta- = 35 °, C = gamma- = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Зі співвідношень, отриманих з теореми синусів, знаходимо катети AC = b = (8,5middot-0,57): 0,73 = 6,7 (мм), AB = c = (7 middot- 0,99): 0,73 = 9,5 (мм). Звідси сума сторін цього багатокутника дорівнює P = 8,5 мм + 5,5 мм + 9,5 мм = 23,5 мм. Відповідь: P = 23,5 мм. У разі, коли є тільки довжина одного відрізка і значення двох прилеглих кутів, спочатку обчислюємо кут, протилежний відомої стороні. Всі кути цієї фігури в сумі мають 180 градусів. Тому A = 180 ° - ( B + C). Далі знаходимо невідомі відрізки, використовуючи теорему синусів. Завдання: Маємо Delta- ABC. Він має відрізок BC, рівний 10 см. Значення кута B дорівнює 48 градусів, кут C дорівнює 56 градусів. Знайти суму сторін Delta- ABC. Рішення: Спочатку знайдемо значення кута A, протилежного стороні BC. A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Тепер з теоремою синусів обчислимо довжину сторони AC = 10middot-0,74: 0,97 = 7,6 (см). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Периметр трикутника Р = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (см). Результат: P = 26,2 см.
Іноді з умови задачі не відома жодна сторона. Зате є значення площі трикутника і радіуса кола, вписаного в нього. Ці величини пов`язані: S = r p. Знаючи значення площі трикутника, радіуса r, можемо знайти напівпериметр p. Знаходимо p = S: r. Завдання: Ділянка має площу 24 м2, радіус r дорівнює 3 м. Знайти кількість дерев, яке потрібно висадити рівномірно по лінії, що обгороджує цю ділянку, якщо між двома сусідніми має бути відстань 2 метри. Рішення: Суму сторін даної фігури знаходимо так: P = 2 middot- 24: 3 = 16 (м). Потім ділимо на два. 16: 2 = 8. Разом: 8 дерев.
вершини Delta- АВС мають координати: A (x1- y1), B (x2- y2), C (x3 - y3). Знайдемо квадрати кожної зі сторін AB2 = (X1 - x2)2 + (y1 - y2)2- ВС2= (X2 - x3)2 + (y2 - y3)2- АС2 = (X1 - x3)2 + (y1 - y3)2. Щоб знайти периметр, досить скласти всі відрізки. Завдання: Координати вершин Delta- ABC: B (3 0), A (1 -3), C (2 5). Знайти суму сторін цієї фігури. Рішення: поставивши значення відповідних координат в формулу периметра, отримаємо P = radic- (4 + 9) + radic- (1 + 25) + radic- (1 + 64) = radic-13 + radic-26 + radic-65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Маємо: P = 16,6. Якщо фігура знаходиться не на площині, а в просторі, то кожна з вершин має три координати. Тому формула суми сторін матиме ще один доданок.
Якщо фігура задана координатами вершин, периметр можна обчислити, використовуючи векторний метод. Вектор - відрізок, який має напрямок. Його модуль (довжина) позначається символом | |. Відстань між точками - це і є довжина відповідного вектора, або модуль вектора. Розглянемо трикутник, що лежить на площині. Якщо вершини мають координати А (х1- у1), М (х2- у2), Т (х3- у3), То довжину кожної зі сторін знаходимо за формулами: |АМ| = radic- ((х1 - х2)2 + (у1 - у2)2), |МТ| = radic- ((х2 - х3)2 + (у2 - у3)2), |АТ| = radic- ((х1 - х3)2 + (у1 - у3)2). Периметр трикутника отримаємо, склавши довжини векторів. Аналогічно знаходять суму сторін трикутника в просторі.
Прямокутний трикутник - трикутник, один кут якого прямий (дорівнює 900). Отже, два інших кута в сумі дають 900.Сторони…
Є кілька способів вирішення цієї геометричної задачі. Вони описані в статті.За допомогою сторін і кутівОтже, перший…
Математика - це дивовижна наука. Однак така думка приходить тільки тоді, коли її розумієш. Щоб цього досягти, потрібно…
Шкільна програма передбачає навчання дітей геометрії з раннього віку. Одне з найбільш базових знань цієї області - це…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Часто учні обурено запитують: «Як мені в житті це стане в нагоді?». На будь-яку тему кожного предмета. Чи…
Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше…
На просте запитання «Як знайти висоту трапеції?» Існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути надані…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
Радіус - це відрізок, який з`єднує будь-яку точку на колі з її центром. Це одна з найважливіших характеристик даної…
Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали,…
Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Перші історики нашої цивілізації - стародавні греки - згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не…
У завданнях по геометрії часто потрібно обчислити площу багатокутника. Причому він може мати досить різноманітну форму…
Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів - це правильний шестикутник. В геометрії він часто використовується в…
Знання про те, як знайти периметр, учні отримують ще в початковій школі. Потім ця інформація постійно використовується…