Як дізнатися площа багатокутника?

У завданнях по геометрії часто потрібно обчислити площу багатокутника. Причому він може мати досить різноманітну форму - від всім відомого трикутника до деякого n-кутника з якимось неймовірним числом вершин. До того ж ці багатокутники бувають опуклими або увігнутими. У кожній конкретній ситуації потрібно було відштовхуватися від зовнішнього вигляду фігури. Так вийде вибрати оптимальний шлях вирішення задачі. Фігура може виявитися правильною, що істотно спростить вирішення завдання.

Трохи теорії про багатокутники

Якщо провести три або більше пересічних прямих, то вони утворюють деяку фігуру. Саме вона є багатокутником. За кількістю точок перетину стає ясно, скільки вершин у нього буде. Вони дають назву вийшла фігурі. Це може бути:

• трикутник;
• чотирикутник;
• п`яти- або шестикутник і так далі.

Така фігура неодмінно буде характеризуватися двома положеннями:

1. Суміжні сторони не належать одній прямій.
2. У несуміжних відсутні загальні точки, тобто вони не перетинаються.

Щоб зрозуміти, які вершини є сусідніми, потрібно подивитися, чи належать вони одній стороні. Якщо так, то сусідні. В іншому випадку їх можна буде з`єднати відрізком, який необхідно назвати діагоналлю. Їх можна провести тільки в многоугольниках, у яких більше трьох вершин.

Які їх види існують?

Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати по різні боки від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника. В опуклому завжди все вершини лежать з одного боку від такої прямої.

У шкільному курсі геометрії велика частина часу приділяється саме опуклим фігурам. Тому в задачах потрібно дізнатися площа опуклого багатокутника. Тоді існує формула через радіус описаного кола, яка дозволяє знайти шукану величину для будь-якої фігури. В інших випадках однозначного рішення не існує. Для трикутника формула одна, а для квадрата або трапеції зовсім інші. У ситуаціях, коли фігура неправильна або вершин дуже багато, прийнято розділяти їх на прості і знайомі.

Як вчинити, якщо фігура має три або чотири вершини?

У першому випадку він виявиться трикутником, і можна скористатися однією з формул:

• S = 1/2 * а * н, де а - сторона, н - висота до неї;
• S = 1/2 * а * в * sin (А), де а, в - сторін и трикутника, А - кут між відомими сторонами;
• S = radic- (p * (p - а) * (p - в) * (p - с)), де с - сторона трикутника, до вже позначеним двом, р - напівпериметр, тобто сума всіх трьох сторін, розділена на два.

Фігура з чотирма вершинами може виявитися параллелограммом:

• S = а * н;
• S = 1/2 * d₁ * d₂ * Sin (alpha-), де d₁ і d₂ - діагоналі, alpha- - кут між ними;
• S = a * в * sin (alpha-).

Формула для площі трапеції: S = н * (a + в) / 2, де а і в - довжини підстав.

Як вчинити з правильним багатокутником, у якого більше чотирьох вершин?

Для початку така фігура характеризується тим, що в ній всі сторони рівні. Плюс до цього, у багатокутника однакові кути.

Якщо навколо такої фігури описати окружність, то її радіус співпаде з відрізком від центру багатокутника до однієї з вершин. Тому для того щоб обчислити площу правильного багатокутника з довільним числом вершин, потрібно така формула:

S_n = 1/2 * n * R_n² * Sin (360ordm- / n), де n - кількість вершин багатокутника.

З неї легко отримати таку, яка стане в нагоді для окремих випадків:

1. трикутника: S = (3radic-3) / 4 * R²;
2. квадрата: S = 2 * R²;
3. шестикутника: S = (3radic-3) / 2 * R².

Ситуація з неправильною фігурою

Виходом для того, як дізнатися площа багатокутника, якщо він не є правильним і його не можна віднести ні до однієї з відомих раніше фігур, є алгоритм:

• розбити його на прості фігури, наприклад, трикутники, щоб вони не перетиналися;
• обчислити їх площі по будь-якою формулою;
• скласти всі результати.

Що робити, якщо в задачі дано координати вершин багатокутника?

Тобто відомий набір пар чисел для кожної точки, які обмежують сторони фігури. Зазвичай вони записуються як (x₁- y₁) Для першої, (x₂- y₂) - Для другої, а n-ая вершина має такі значення (x_n- y_n). Тоді площа багатокутника визначається, як сума n доданків. Кожне з них виглядає так: ((y_{i + 1} +y_i) / 2) * (x_{i + 1} - x_i). У цьому виразі i змінюється від одиниці до n.

Варто зазначити, що знак результату буде залежати від обходу фігури. При використанні зазначеної формули і русі за годинниковою стрілкою відповідь буде виходити негативним.

приклад завдання

Умова. Координати вершин задані такими значеннями (0.6- 2.1), (1.8 3.6), (2.2-2.3), (3.6- 2.4), (3.1 0.5). Потрібно обчислити площу багатокутника.

Рішення. За формулою, зазначеною вище, перший доданок дорівнюватиме (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Тут потрібно просто взяти значення для ігреки ікси від другої і першої точок. Нескладний розрахунок приведе до результату 1.8.

Другий доданок аналогічно виходить: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При вирішенні подібних завдань не варто лякатися негативних величин. Все йде так, як потрібно. Це планомірно.

Подібним чином виходять значення для третього (0.29), четвертого (-6.365) і п`ятого доданків (2.96). Тоді підсумкова площа дорівнює: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

Рада за рішенням завдання, для якої багатокутник зображений на папері в клітку

Найчастіше спантеличує те, що в даних є тільки розмір клітинки. Але виявляється, що більше відомостей не потрібно. Рекомендацією до вирішення такого завдання є розбивання фігури на безліч трикутників і прямокутників. Їх площі досить просто порахувати по довжинах сторін, які потім легко скласти.

Але часто є більш простий підхід. Він полягає в тому, щоб домалювати фігуру до прямокутника і обчислити значення його площі. Потім порахувати площі тих елементів, які виявилися зайвими. Відняти їх із загального значення. Цей варіант часом передбачає дещо менше число дій.