Як знайти об'єм куба: варіанти завдань та їх вирішення
Сучасні технології створюють дивовижні комп`ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в обсязі і покриття їх в…
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що тебе оточує, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов`язати числа з їх фізичними виразами, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (в силу своєї абстрактності), ну а через деякий час, як висловився один вчений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли всі числа ". Поняття "квадратний корінь" з`явилося ще в той час, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.
Перша згадка кореня, який на даний момент позначається як radic-, було зафіксовано в працях вавилонських математиків, що поклали початок сучасної математики. Звичайно, на нинішню форму вони походили мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але в другому тисячолітті до н. е. ними була виведена наближена формула обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображений камінь, на якому вавилонські вчені висікли процес виведення radic-2, причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише в десятому знаку після коми.
Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти сторону трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від добування кореня нікуди не дітися.
Нарівні з вавілонськими роботами об`єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев`яти книгах", а стародавні греки прийшли до висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.
Походження цього терміна пов`язують з арабським поданням числа: стародавні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно рослині. На латині це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневу" смислове навантаження, співзвучно, будь то редис або радикуліт).
Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи його як Rx. Наприклад, в XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний з довільного числа a, писали R2a. Звична сучасному погляду "галочка" radic- з`явилася лише в XVII столітті завдяки Рене Декарта.
З точки зору математики, квадратний корінь з числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Іншими словами, z2= Y рівносильно radic-y = z. Однак дане визначення актуально лише для арифметичного кореня, так як вона має на увазі позитивне значення виразу. Іншими словами, radic-y = z, де z більше або дорівнює 0.
У загальному випадку, що діє для визначення алгебраїчного кореня, значення виразу може бути як позитивним, так і негативним. Таким чином, в силу того, що z2= Y і (-z)2= Y, маємо: radic-y = ± z або radic-y = | z |.
Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені в сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята кореня квадратного. Відзначаються вони дев`ять разів в сто років, і визначаються за наступним принципом: числа, які позначають один по одному день і місяць, повинна бути коренем квадратним з року. Так, наступного разу треба буде відзначати цей свято 4 квітня 2016 року.
Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і radic-y, який визначається як сторона квадрата з площею y.
Алгоритмів обчислення існує кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким, є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:
1) з числа, коріння якого нам потрібен, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше від`ємника або взагалі буде дорівнює нулю. Кількість ходів і стане в підсумку шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:
25-1 = 24
24-3 = 21
21-5 = 17
17-7 = 10
10-9 = 1
Наступне непарне число - це 11, залишок у нас наступний: 1lt; 11. Кількість ходів - 5, так що корінь з 25 дорівнює 5. Начебто все легко і просто, але уявіть, що доведеться обчислювати з 18769? Для таких випадків існує розкладання в ряд Тейлора:
radic- (1 + y) = sum - ((- 1)n(2n)! / (1-2n) (n!)2(4n)) Yn, де n приймає значення від 0 до
+infin-, а | y | le-1.
Розглянемо елементарну функцію z = radic-y на поле дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає наступним чином:
Крива зростає з початку координат і обов`язково перетинає точку (1 1).
1. Область визначення даної функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).
2. Область значень даної функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж включений).
3. Мінімальне значення (0) функція приймає лише в точці (0- 0). Максимальне значення відсутній.
4. Функція z = radic-y ні парна, ні непарна.
5. Функція z = radic-y не є періодичною.
6. Точка перетину графіка функції z = radic-y з осями координат лише одна: (0- 0).
7. Точка перетину графіка функції z = radic-y також є і нулем цієї функції.
8. Функція z = radic-y безперервно зростає.
9. Функція z = radic-y приймає лише позитивні значення, отже, графік її займає перший координатний кут.
В математиці для полегшення обчислень складних виразів часом використовують ступеневу форму написання кореня квадратного: radic-y = y1/2. Такий варіант зручний, наприклад, в зведенні функції в ступінь: (radic-y)4= (Y1/2)4= y2. Цей метод є вдалим поданням і при диференціюванні з інтеграцією, так як завдяки йому корінь квадратний представляється звичайною ступеневою функцією.
А в програмуванні заміною символу radic- є комбінація букв sqrt. Варто відзначити, що в даній області квадратний корінь дуже затребуваний, тому що входить до складу більшості геометричних формул, необхідних для обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний і будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).
За великим рахунком саме предмет даної статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, так як математикам не давав спокою питання отримання кореня парного степеня з від`ємного числа. Так з`явилася уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння і при негативному дискримінант отримали рішення. В С для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з подкоренного вираження.
Сучасні технології створюють дивовижні комп`ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в обсязі і покриття їх в…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше…
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають…
Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх…
Тема про квадратні корені є обов`язковою в шкільній програмі курсу математики. Без них не обійтися при вирішенні…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Часто учні обурено запитують: «Як мені в житті це стане в нагоді?». На будь-яку тему кожного предмета. Чи…
Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при…
На просте запитання «Як знайти висоту трапеції?» Існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути надані…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність,…
Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали,…
Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як…
Скільки гнівних слів сказано в його адресу? Часом здається, що кубічний корінь неймовірно сильно відрізняється від…
В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Діагональ куба - це один з елементів, який буде потрібно знати при вирішенні завдань по стереометрії під час виконання…
Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів - це правильний шестикутник. В геометрії він часто використовується в…