Як знайти квадратний корінь? Властивості, приклади вилучення кореня
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання…
Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при цьому сильно від них відрізняються. Тому що до їх вирішення потрібен особливий підхід.
Всі вони застосовуються для того, щоб замінити наявну запис рівносильній. Велика їх частина схожа на те, що було в рівняннях. Але є і відмінності.
Іноді рішення нерівностей супроводжується діями, які дають сторонні відповіді. Їх потрібно виключити, порівнявши область ОДЗ і безліч рішень.
Його суть полягає в тому, щоб звести нерівність до рівняння, в якому в правій частині стоїть нуль.
Вони використовують у записі відразу два знака нерівності. Тобто деяка функція обмежена умовами відразу двічі. Такі нерівності вирішуються, як система з двох, коли вихідне розбите на частини. І в методі інтервалів вказуються відповіді від рішення обох рівнянь.
Для їх вирішення також допустимо використовувати властивості, зазначені вище. З їх допомогою зручно приводити нерівність до рівності нулю.
В цьому випадку рішення нерівностей використовує такі властивості, причому вони справедливі для позитивного значення «а».
Якщо «х» приймає вираз, то справедливі такі заміни:
Якщо нерівності несуворі, то формули теж вірні, тільки в них, крім знака більше або менше, з`являється «=».
Це знання потрібно в тих випадках, коли дано таке завдання або є запис подвійного нерівності або в запису з`явився модуль. У такій ситуації рішенням будуть такі значення змінних, які задовольняли б всім наявним у запису нерівностей. Якщо таких чисел немає, то система рішень не має.
План, за яким виконується рішення системи нерівностей:
Оскільки під час їх вирішення може знадобитися зміна знака нерівності, то потрібно дуже ретельно і уважно виконувати всі пункти плану. Інакше може вийти протилежний відповідь.
Рішення дрібних нерівностей теж використовує метод інтервалів. І план дій буде таким:
Іншими словами, в запису присутній математичний корінь. Оскільки в шкільному курсі алгебри велика частина завдань йде для квадратного кореня, то саме він і буде розглянуто.
Рішення ірраціональних нерівностей зводиться до того, щоб отримати систему з двох або трьох, які будуть рівносильні вихідному.
початкове нерівність | умова | рівносильна система |
radic- n (х) lt; m (х) | m (х) менше або дорівнює 0 | рішень немає |
m (х) більше 0 | n (х) більше або дорівнює 0 n (х) lt; (M (х))2 | |
radic- n (х)> m (х) | m (х) більше або дорівнює 0 n (х)> (m (х))2 | |
або n (х) більше або дорівнює 0 m (х) менше 0 | ||
radic-n (х) le- m (х) | m (х) менше 0 | рішень немає |
m (х) більше або дорівнює 0 | n (х) більше або дорівнює 0 n (х) le- (m (х))2 | |
radic-n (х) ge- m (х) | m (х) більше або дорівнює 0 n (х) ge- (m (х))2 | |
або n (х) більше або дорівнює 0 m (х) менше 0 | ||
radic- n (х) lt; radic- m (х) | n (х) більше або дорівнює 0 n (х) менше m (х) | |
radic-n (х) * m (х) lt; 0 | n (х) більше 0 m (х) менше 0 | |
radic-n (х) * m (х)> 0 | n (х) більше 0 m (х) більше 0 | |
radic-n (х) * m (х) le- 0 | n (х) більше 0 m (х) le-0 | |
або n (х) дорівнює 0 m (х) -будь | ||
radic-n (х) * m (х) ge- 0 | n (х) більше 0 m (х) ge-0 | |
або n (х) дорівнює 0 m (х) -будь |
Для того щоб додати наочності в теорію про рішення нерівностей, нижче наведені приклади.
"Рішення: для того щоб визначити ОДЗ, досить просто уважно подивитися на нерівність. Воно утворене з лінійних функцій, тому визначено при всіх значеннях змінної.
Тепер з обох частин нерівності потрібно відняти (1 + х). Виходить: 2х - 4 - (1 + х)> 0. Після того як будуть розкриті дужки і наведені подібні доданки нерівність прийме такий вигляд: х - 5> 0.
Прирівнявши його до нуля, легко знайти його рішення: х = 5.
Тепер цю точку з цифрою 5, потрібно відзначити на координатному промені. Потім перевірити знаки вихідної функції. На першому інтервалі від мінус нескінченності до 5 можна взяти число 0 і підставити його в нерівність, що вийшло після перетворень. Після розрахунків виходить -7> 0. під дугою інтервалу потрібно підписати знак мінуса.
На наступному інтервалі від 5 до нескінченності можна вибрати число 6. Тоді виходить, що 1> 0. Під дугою підписаний знак «+». Цей другий інтервал і буде відповіддю нерівності.
Відповідь: х лежить в інтервалі (5 infin-).
"Рішення. ОДЗ цих нерівностей теж лежить в області будь-яких чисел, оскільки дані лінійні функції.
Дальше действовать потрібно поетапно. Спочатку перетворити перше з нерівностей і прирівняти його до нуля. 3х + 3 - 2х - 1 = 0. Тобто х + 2 = 0. Таким чином, х дорівнює -2.
Друге нерівність набуде вигляду такого рівняння: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. Після перетворення: -х - 4 = 0. З нього виходить значення для змінної, рівне -4.
Ці два числа потрібно відзначити на осі, зобразивши інтервали. Оскільки нерівність нестроге, то всі крапки потрібно зафарбувати. Перший інтервал від мінус нескінченності до -4. Нехай буде вибрано число -5. Перше нерівність дасть значення -3, а друге 1. Значить, цей проміжок не входить у відповідь.
Другий інтервал від -4 до -2. Можна вибрати число -3 і підставити його в обидві нерівності. У першому і в другому виходить значення -1. Значить, під дугою «-».
На останньому інтервалі від -2 до нескінченності найкращим числом є нуль. Його і потрібно підставити і знайти значення нерівностей. У першому з них виходить позитивне число, а другому нуль. Цей проміжок теж потрібно виключити з відповіді.
З трьох інтервалів рішенням нерівності є тільки один.
Відповідь: х належить [-4- -2].
"Рішення. Насамперед потрібно визначити точки, в яких функції звертаються в нуль. Для лівого цим числом буде 2, для правого - 1. їх потрібно відзначити на промені і визначити проміжки знакопостоянства.
На першому інтервалі, від мінус нескінченності до 1, функція з лівої частини нерівності набуває додатних значень, а з правої - негативні. Під дугою потрібно записати поряд два знака «+» і «-».
Наступний проміжок від 1 до 2. На ньому обидві функції беруть позитивні значення. Значить, під дугою два плюса.
Третій інтервал від 2 до нескінченності дасть такий результат: ліва функція - негативна, права - позитивна.
З урахуванням одержані знаків потрібно обчислити значення нерівності для всіх проміжків.
На першому виходить така нерівність: 2 - х> - 2 (х - 1). Мінус перед двійкою в другому нерівності вийшов з-за того, що ця функція негативна.
Після перетворення нерівність виглядає так: х> 0. Воно відразу дає значення змінної. Тобто з цього інтервалу у відповідь піде тільки проміжок від 0 до 1.
На другому: 2 - х> 2 (х - 1). Перетворення дадуть таку нерівність: -3х + 4 більше нуля. Його нулем буде значення х = 4/3. З урахуванням знака нерівності виходить, що х повинен бути менше цього числа. Значить, цей інтервал зменшується до проміжку від 1 до 4/3.
Останній дає такий запис нерівності: - (2 - х)> 2 (х - 1). Його перетворення призводить до такого: -х> 0. Тобто рівняння вірно при х меншому нуля. Це означає, що на шуканому проміжку нерівність не дає рішень.
На перших двох проміжках граничним виявилося число 1. Його потрібно перевірити окремо. Тобто підставити у вихідне нерівність. Виходить: | 2 - 1 | > 2 | 1 - 1 |. Підрахунок дає що 1 більше 0. Це вірне твердження, тому одиниця входить у відповідь.
Відповідь: х лежить в проміжку (0- 4/3).
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання…
Навчитися розв`язувати рівняння - це одна з головних задач, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше…
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають…
Тема про квадратні корені є обов`язковою в шкільній програмі курсу математики. Без них не обійтися при вирішенні…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
Як відбувається складання векторів, не завжди зрозуміло учням. Діти не уявляють того, що за ними ховається. Доводиться…
У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність,…
При слові "дроби" у багатьох біжать мурашки. Тому що згадується школа і завдання, які вирішувалися на математиці. Це…
Скільки гнівних слів сказано в його адресу? Часом здається, що кубічний корінь неймовірно сильно відрізняється від…
Окружність зустрічається в повсякденному житті не рідше, ніж прямокутник. А у багатьох людей задача про те, як…
В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Перш ніж говорити про парні і непарні числа, варто усвідомити кілька моментів про те, які взагалі групи чисел бувають.…
Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів - це правильний шестикутник. В геометрії він часто використовується в…
Трикутник - добре знайома всім фігура. І це, незважаючи на все різноманіття його форм. Прямокутний, рівносторонній,…