Геометричні фігури для дітей - розвиток дошкільнят
Ранній розвиток дітей починається з ознайомлення з геометричними фігурами. Спочатку дитина вчиться розпізнавати плоскі…
Поняття подібності довільних геометричних фігур, по суті, дуже просто можна пояснити і тим більше довести. Так, наприклад, розглядаючи предмет через лупу, ми бачимо збільшене в кілька разів зображення цього предмета зі збереженням пропорцій усіх його розмірів. Іншими словами, зображення предмета аналогічно вихідного об`єкту до збільшення. У більшості завдань з геометрії для доказу пропорційності сторін і площ трикутників застосовуються основні 3 ознаки. Для того щоб розглянути існуючі ознаки подібності трикутників, необхідно спочатку визначитися з ключовим поняттям, яке буде в подальшому використовуватися в тексті.
Отже, трикутники є подібними, якщо їх аналогічно розташовані боку пропорційні, а відповідно розташовані кути рівні (варто пам`ятати про те, що сторони називаються аналогічними, або відповідними, якщо вони розташовані навпроти однакових за величиною кутів). Розглянемо подібні трикутники АВС і А1B1C1. Згідно вище викладеного поняття, відповідними сторонами є: АВ і А1B1, а також пари сторін BC і B1C1, АС і А1C1. Зверніть увагу, що сторони кожної з цих трьох пар лежать навпроти однакових за величиною кутів.
Подоба позначається спеціальним символом, який ставиться між позначеннями розглянутих фігур: АВС sim- А1B1C1.
Ставлення відповідних сторін при при наявності даної ознаки - це параметр, званий коефіцієнтом подібності k. У разі якщо k = 2, то можна сказати, що одна з двох розглянутих геометричних фігур є збільшеною в два рази копією іншого. Ясно, що в разі якщо k = 1, то трикутники рівні. Таким чином, дане рівність можна вважати деяким окремим випадком їх подібності.
Виявляється, для встановлення факту наявності розглянутого ознаки немає потреби перевіряти всі вимоги, перераховані в формулюванні визначення подібності, даного вище. Достатньо лише виконання мінімального набору умов, і це ми зараз підтвердимо на практиці.
При вирішенні завдань перша ознака подібності трикутників фігурує в доказах набагато частіше, ніж інші. Зверніть увагу, що він оперує лише двома елементами геометричної фігури: двома кутами. Інші ознаки подібності трикутників вимагають для доказу участі трьох елементів. Отже, для двох довільних подібних трикутників 2 кута одного з них рівні аналогічним 2-м кутах іншого.
Згідно з основними властивостями, що діє від імені будь-якого довільного трикутника, можна записати наступний вираз для ang-С. Його величина буде дорівнює (180 ° - (ang-А + ang-В)), для іншого ang-С1 величина буде розрахована за таким же прінціпу.Путем елементарних перетворень виразів отримуємо, що ang-С = ang-С1. Таким чином, всі кути, наявні в АВС, рівні всім аналогічним кутах, розташованим в А1В1З1. За аналогічним алгоритмом доводяться інші ознаки подібності трикутників.
Цей підхід до доведення досить часто застосовують, якщо відомі кути розглянутих геометричних фігур.
Для двох подібних трикутників справедливим є твердження про те, що 2 боку будь-якого з них пропорційні 2-м аналогічним сторонам іншого, і при цьому кути, розташовані між цими парами сторін, рівні.
Для доказу цього показника необхідно звернутися до попередніх викладкам. Виходячи з наведених вище результатів, нам достатньо довести, що ang-В = ang-В1. Розглянемо АВС2, для якого, згідно з першим ознакою, справедливі наступні твердження: ang-1 = ang-А1, ang-2 = ang-В1. АВС2~ А1В1З1. Значить, АВ / А1В1= АС2/ А1С. З іншого боку, відомо з умови, що має місце співвідношення виду: АС / А1З1 =АВ / А1В1. В результаті отримуємо рівність сторін АС = АС2, а також твердження про те, що АВС ~ АВС2 за другою ознакою (АС = АС2 і ang-А = ang-1, так як в результаті розгляду вихідних даних встановили, що А = ang-А1 і ang-1 = ang-А1, АВ є спільною стороною для цих двох трикутників). З докази слід, що ang-В = ang-2, а так як ang-2 = ang-В1, то отримуємо, що ang-В = ang-В1. З чого випливає, що ще одна ознака доведений.
Даний ознака вважається найбільш очевидним при доказі подібності, оскільки розглядаються всі сторони даних трикутників з відомими параметрами.
Отже, для двох трикутників, які подібні один одному, має місце твердження про те, що 3 боку одного з них пропорційні 3-м відповідним сторонам іншого.
З огляду на попередній ознака подібності, тепер для побудови докази досить лише встановити те, що існує рівність виду: ang-A = ang-A1. Для цього розглянемо будь-який довільний АВС2, у якого ang-1 = ang-A1, ang-2 = ang-В1. За 1-му ознакою АВС2 sim- А1B1C1, отже для цих двох трикутників можемо записати співвідношення виду АВ / А1В1= ВС2/ В1З1 = С2А / С1А1, з якого можна записати рівності виду: В1З1= ВС2, А1З1= АС2. З цього логічно зробити висновок, що АВС sim- АВС2, і, як висновок, ang-А і ang-А1 рівні. З чого випливає, що розглянутий ознака також доведений.
Варто розглянути ще ряд окремих ознак, які застосовні для геометричних фігур певного виду. Отже, прямокутні трикутники є подібними, якщо:
Таким чином, ми об`єднали всі можливі ознаки, за допомогою яких можна так чи інакше довести подібність двох і більше фігур з трьома кутами і сторонами, незалежно від їх виду і властивостей. У більшості завдань з геометрії для доказу пропорційності сторін і площ застосовуються основні три ознаки, але ми не залишили без уваги ряд ознак подібності, які можуть застосовуватися лише в разі, якщо необхідно здійснити доказ для розглянутих геометричних фігур з наявністю прямого кута. Дані ознаки подібності прямокутних трикутників значно спрощують процес вирішення різного роду завдань і вимагають для них мінімум даних.
Ранній розвиток дітей починається з ознайомлення з геометричними фігурами. Спочатку дитина вчиться розпізнавати плоскі…
Для деяких людей є проблемою зображення предметів на папері. Якщо людина не знає, як намалювати ялинку, ця стаття стане…
Прямокутний трикутник - трикутник, один кут якого прямий (дорівнює 900). Отже, два інших кута в сумі дають 900.Сторони…
Відомий математик Піфагор зробив безліч різних відкриттів, але більшості людей, яким не доводиться регулярно стикатися…
Математика - це дивовижна наука. Однак така думка приходить тільки тоді, коли її розумієш. Щоб цього досягти, потрібно…
Шкільна програма передбачає навчання дітей геометрії з раннього віку. Одне з найбільш базових знань цієї області - це…
Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше…
Геометрія - одна з найбільш складних і заплутаних наук. У ній те, що здається на перший погляд очевидним, дуже рідко…
Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх…
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те,…
Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше…
Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися…
Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали,…
Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як…
Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається…
Можливо, у кожного з нас настає момент, коли виникає наступне питання: «Як порахувати квадратні метри якогось…
Перші історики нашої цивілізації - стародавні греки - згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не…
У завданнях по геометрії часто потрібно обчислити площу багатокутника. Причому він може мати досить різноманітну форму…