Різні системи числення і натуральні числа

З давніх-давен людина проявляє інтерес до навколишнього світу, намагається його вивчити, а отримані знання систематизувати та впорядкувати. Один з таких спосіб - рахунок. Для цього були придумані натуральні числа. В даний час існує безліч способів рахунки та обліку інформації. У цій статті ми розповімо про те, що таке натуральні числа, які бувають системи числення, як їх використовувати, а також історію їх виникнення.

Загальні відомості

Так що таке натуральні числа? Визначення говорить, що вони є простими, тобто використовуються в повсякденному житті для підрахунку кількості будь-яких предметів. В даний час застосовується позиційна десятеричная система числення. Наведемо визначення даного поняття. Системи числення - це уявлення чисел за допомогою письмових знаків (знаків), символічний спосіб запису чисел. Варто розділяти поняття "число" і "цифра". Перше представляє собою якусь абстрактну сутність, міру для визначення кількості. Цифрами називають певні символи, які використовуються для запису чисел. Найпопулярніша і поширена - це арабська система символів. У ній цифри видаються знаками від 0 (нуля) і до 9 (дев`яти). Саме вона використовується для позначення натуральних чисел в даний час. Менш поширеною є римська система числення. Але про неї докладніше ми розповімо далі.

З вище сказаного можна зробити висновок, що натуральні числа - це ті, які використовуються для рахунку предметів, вказують на порядковий номер будь-якого предмета серед аналогічних. Наприклад, 5, 18, 596, 10873 і так далі.

Що таке числовий ряд?

Всі натуральні числа, які розташовуються в порядку зростання, утворюють так званий числовий ряд. Свій початок він бере з найменшою цифри - одиниці. Найбільшого числа немає, так як даний ряд нескінченний. Таким чином, якщо до наступного числа ми додаємо один, то отримаємо наступне число. Варто відзначити, що число нуль не є натуральним числом. Воно означає повну відсутність чого-небудь, не має під собою матеріального підстави. Отже, нуль не можна віднести до класу під назвою "натуральні числа". Позначається безліч натуральних чисел за допомогою великої латинської літери N.

Звідки вони взялися?

У найдавніші часи для написання чисел використовували палички. Такий спосіб запозичили римляни для своєї непозиционной системи числення (що це таке, ми розповімо далі). При цьому число записувалося без будь-яких символів, а як різницю або сума паличок.

Наступний етап розвитку системи числення - позначення за допомогою букв. Потім з`явився позиційний клас чисел, який використовується і до цього дня. Новаторами в цій області стали стародавні вавилоняни і індуси, які придумали шістдесяткова і десяткової системи відповідно. Варто відзначити, що широко використовувана арабська система є похідною від давньоіндійської. Арабські математики тільки доповнили її цифрою нуль.

Класифікація системи числення

Так як чисел набагато більше, ніж відповідних цифр, то для їх запису прийнято використовувати комбінацію (набір) цифр. Мала кількість чисел (невелике за величиною) позначається однією цифрою. Виходить, що системи числення - це способи запису числових значень за допомогою цифр. Величина може залежати від того, в якому порядку йдуть цифри, а може і не мати значення. Дана властивість визначається системами рахунку, що служить підставою для класифікування. Існує три групи (класу).

1. Змішані.
2. Позиційні.
3. Непозиційної.

Як приклад першої групи наведемо грошові знаки. Розглянемо російську монетарну систему. У ній використовуються купюри і монети таких номіналів, як: один, два, п`ять, десять, сто, п`ятсот, тисячу і п`ять тисяч рублів, а також одна, п`ять, десять і п`ятдесят копійок. Щоб отримати певну суму в рублях, необхідно використовувати відповідну кількість грошових знаків різного номінального гідності. Наприклад, мікрохвильова піч стоїть 6379 російських рублів. Щоб зробити покупку, можна взяти шість купюр номіналом в тисячу рублів, 3 банкноти по сто рублів, одну купюру в п`ятдесят рублів, дві - по десять, одну монету в п`ять рублів і дві монети по два рубля. Якщо ми запишемо кількість монет або купюр, починаючи від однієї тисячі рублів і закінчуючи копійкою, при цьому замінюючи невикористовувані номінали нулями, то отримаємо наступне число: 603121200000. Якщо перемішати цифри в отриманому раніше числі, то ми отримаємо неправдиву ціну на мікрохвильову піч. Тому такий спосіб запису відноситься до позиційного класу. Натуральні числа - це прямий приклад позиційного класу.

Непозиційних клас - що це таке?

Непозиційних система числення чисел характеризуються тим, що загальна величина числа не залежить від положення цифри пі написанні. Якщо до кожної цифри ми припишемо відповідний знак номіналу, то такі складові символи (номінал плюс цифра) можна перемішувати. Іншими словами, такий запис є непозиционной. Як чистого приклад можна навести римську систему. Її розглянемо більш докладно.

Римські цифри

Цим поняттям називають систему знаків (символів), яка була придумана древніми римлянами для своєї системи числення. Суть її полягає в наступному: всі натуральні числа записуються повторенням цифр. При цьому, якщо менша цифра стоїть перед більшою, то перша віднімається з останньої. Це називається принципом віднімання. Якщо має місце чотириразове повторення, дане правило на нього не поширюється. А якщо ж велика цифра стоїть перед меншою, то, навпаки, вони складаються (принцип додавання). Історики відзначають, що дана система датується приблизно п`ятим століттям до нашої ери у етрусків, які, в свою чергу, могли її перейняти у протокельтов. Для правильного написання великого числа римськими символами необхідно спочатку написати кількість тисяч, потім - сотень, потім - десятків і в кінці - одиниць. Варто відзначити, що при цьому тільки деякі з цифр (наприклад, I, M, X, C) можуть дублюватися, але не більше, ніж три рази. Отже, за допомогою римських цифр можна записати практично будь-яке ціле число. Для сучасної людини, щоб спростити підрахунок, існує спеціальна таблиця систем числення римських цифр.

Використання римських цифр

Дана система числення дуже широко застосовувалася в СРСР при позначенні дати для вказівки місяці. Дуже часто на надгробках дати життя і смерті вказуються в особливому форматі, де порядковий номер місяця пишеться римськими символами. В даний час, з переходом на комп`ютеризовану обробку інформації, використання даної системи числення практично кануло в Лету. Однак є сфери, де «римський стиль» зображення цифр має свої особливості. Наприклад, в країнах Західної Європи дуже часто використовують ці символи на фронтонах будинків для позначення номера року або в титрах відео- і кінопродукції. Так, в Литві на вітринах магазинів або дорожніх знаках, вивісках римськими цифрами позначаються дні тижня.

Сучасне застосування римської системи числення

В даний час даний спосіб написання чисел не має широкого застосування. Однак історично усталене, що вона застосовується в сферах, про які ми детально розповімо в цьому розділі. У всьому світі прийнято вказувати номер тисячоліття або століття римськими символами. Так само відбувається і при написанні "порядкового номера" монаршої персони. Наприклад, Єлизавета II, Людовик XIV і т.д. Це пов`язано з тим, що дана система числення більш "велична". Саме її поява асоціюється зі світанком Римської імперії - зразком традиції і класики. За тим же принципом дана система зображення цифр використовується для маркування циферблата в деяких моделях годин. Ще один поширений випадок застосування римських цифр - номера томів в багатотомному літературному творі. Наприклад: «Війна і мир», тому III. Іноді таким чином нумеруються частини книги, розділи або глави. У деяких виданнях можна зустріти позначення сторінок з передмовою до твору. Це роблять для того, щоб при зміні тексту передмови не змінювати посилання на нього в тілі основного тексту. Римські цифри використовують для позначення важливих історичних подій або пунктів переліку. Наприклад, II світова війна, XVII з`їзд КПРС, XXII Олімпійські ігри тощо. Крім того, так чи інакше пов`язаних з історією, дану систему числення використовують в хімії - для вказівки валентності елементів-в музичному мистецтві - для вказівки порядкового номера ступені в звуковому ряді. Також римські цифри використовують в медицині.