Арифметична прогресія - числова послідовність

Хтось до слова «прогресія» відноситься насторожено, як до дуже складного терміну з розділів вищої математики. А між тим найпростіша арифметична прогресія - робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а в математиці немає нічого важливішого, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності не так складно, розібравши кілька елементарних понять.

Математична числова послідовність

Числовою послідовністю прийнято називати будь-якої ряд чисел, кожне з яких має свій номер.

а₁ - перший член послідовності;

а₂ - другий член послідовності;

...

а₇ - сьомий член послідовності;

...

а_n - n-ний член послідовності;

Однак не будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов`язано з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є якою-небудь функцією від n.

де:

a - значення члена числової послідовності;

n - його порядковий номер;

f (n) - функція, де порядковий номер в числової послідовності n є аргументом.

визначення

Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, в якій кожний наступний член більше (менше) попереднього на одне і те ж число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає наступним чином:

де

a_n - значення поточного члена арифметичної прогресії;

a_{n + 1} - формула наступного числа;

d - різниця (певне число).

Неважко визначити, що якщо різниця позитивна (d> 0), то кожний наступний член розглянутого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.

приклад:

a₁ = 5

d = 3

тоді

На представленому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву «зростаюча».

У випадках, коли різниця негативна (dlt; 0), кожний наступний член зі зрозумілих причин буде менше попереднього, графік прогресії стане «йти» вниз, арифметична прогресія, відповідно, буде називатися спадної.

Значення заданого члена

Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена a_n арифметичної прогресії. Можна зробити це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, потрібно знайти значення п`ятитисячного або восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться у часі. Однак конкретна арифметична прогресія може бути досліджена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії може бути визначено як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.

Формула універсальна для зростаючій і зменшення прогресії.

Приклад розрахунку значення заданого члена

Вирішимо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.

Умова: є арифметична прогресія з параметрами:

- перший член послідовності дорівнює 3;

- різницю числового ряду дорівнює 1,2.

Завдання: необхідно відшукати значення 214 члена

Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:

а (n) = а1 + d (n-1)

Підставивши у вираз дані з умови задачі маємо:

а (214) = а1 + d (n-1)

а (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Відповідь 214-й член послідовності раве 258,6.

Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає не більше 2 рядків.

Сума заданого числа членів

Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень деякого його відрізка. Для цього також немає необхідності обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо число членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися наступною формулою.

Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого і n-ного членів, помноженої на номер члена n і поділеній навпіл. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз з попереднього пункту статті, отримаємо:

приклад розрахунку

Для прикладу вирішимо завдання з наступними умовами:

- перший член послідовності дорівнює нулю;

- різницю дорівнює 0,5.

В задачі потрібно визначити суму членів ряду з 56-го по 101.

Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:

s (n) = (2 a1 + d (n-1)) n / 2

Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши в формулу дані їх умови нашої задачі:

s₁₀₁ = (2 0 + 0,5 (101-1)) 101/2 = 2 525

Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S₁₀₁ відняти S₅₅.

s₅₅ = (2 0 + 0,5 (55-1)) 55/2 = 742,5

Таким чином сума арифметичної прогресії для даного прикладу:

s₁₀₁ - s₅₅ = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Приклад практичного застосування арифметичної прогресії

В кінці статті повернемося до прикладу арифметичної послідовності, наведеним в першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.

Посадка в таксі (в яку входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується з розрахунку 22 руб. / Км. Відстань поїздки 30 км. Розрахувати вартість поїздки.

1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.

30 - 3 = 27 км.

2. Подальший розрахунок - не що інше як розбір арифметичного числового ряду.

Номер члена - число км пробігу (мінус перші три).

Значення члена - сума.

Перший член в даній задачі дорівнюватиме a₁ = 50 р.

Різниця прогресії d = 22 р.

цікавить нас число - значення (27 + 1) -ого члена арифметичної прогресії - свідчення лічильника в кінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.

a₂₈ = 50 + 22 (28 - 1) = 644

На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на як завгодно тривалий період. В астрономії в геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються в статистиці та інших прикладних розділах математики.

Інший вид числової послідовності - геометрична

Геометрична прогресія характеризується великими, в порівнянні з арифметичної, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині часто, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається в геометричній прогресії.

N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:

n = 1: 1 2 = 2

n = 2: 2 2 = 4

n = 3: 4 2 = 8

n = 4: 8 2 = 16

n = 5: 16 2 = 32,

n = 6: 32 2 = 64 і так далі ...

де:

b_n - значення поточного члена геометричної прогресії;

b_{n + 1} - формула наступного члена геометричної прогресії;

q - знаменник геометричній прогресії (постійне число).

Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:

Як і у випадку з арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якоїсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступеня n зменшеного на одиницю:

Приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії

b₅ = b₁ q^(5-1) = 3 1,5⁴ = 15,1875

Сума заданого числа членів розраховується так само за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці твори n- ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеній на зменшений на одиницю знаменник:

якщо b_n замінити користуючись розглянутої вище формулою, значення суми n перших членів даного числового ряду набуде вигляду:

Приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, рівного 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.

s8 = 1 (3⁸-1) / (3-1) = 3 280