Відносна і абсолютна похибка: поняття, розрахунок і властивості

У наше століття людина придумала і використовує безліч всіляких вимірювальних приладів. Але якою б досконалою не була технологія їх виготовлення, всі вони мають більшу чи меншу похибку. Цей параметр, як правило, вказується на самому інструменті, і для оцінки точності визначається величини потрібно вміти розбиратися в тому, що означають зазначені на маркуванні цифри. Крім того, відносна і абсолютна похибка неминуче виникає при складних математичних розрахунках. Вона широко застосовується в статистиці, промисловості (контроль якості) і в ряді інших областей. Як розраховується ця величина і як трактувати її значення - про це якраз і піде мова в даній статті.

абсолютна похибка

Позначимо через х наближене значення будь-якої величини, отримане, наприклад, за допомогою одноразового вимірювання, а через х₀ - її точне значення. Тепер обчислимо модуль різниці між цими двома числами. Абсолютна похибка - це якраз і є те значення, що вийшло у нас в результаті цієї нехитрої операції. Висловлюючись мовою формул, дане визначення можна записати в такому вигляді: Delta- x = | x - x 0 |.

Відносна погрішність

Абсолютне відхилення володіє одним істотним недоліком - вона не дозволяє оцінити ступінь важливості помилки. Наприклад, купуємо ми на ринку 5 кг картоплі, а недобросовісний продавець при вимірюванні ваги помилився на 50 грам в свою користь. Тобто абсолютна похибка склала 50 грам. Для нас така помилка буде сущою дрібницею і ми навіть не звернемо на неї уваги. А уявіть собі, що станеться, якщо при приготуванні ліки відбудеться подібна помилка? Тут вже все буде набагато серйозніше. А при завантаженні товарного вагона напевно виникають відхилення набагато більше даного значення. Тому сама по собі абсолютна похибка малоінформативна. Крім неї дуже часто додатково розраховують відносне відхилення, яке дорівнює відношенню абсолютної похибки до точного значення числа. Це записується такою формулою: delta- = Delta- x / x₀.

властивості похибок

Припустимо, у нас є дві незалежні величини: х і у. Нам потрібно розрахувати відхилення наближеного значення їх суми. У цьому випадку ми можемо розрахувати абсолютну похибку як суму попередньо розрахованих абсолютних відхилень кожної з них. У деяких вимірах може статися так, що помилки у визначенні значень x і y будуть один одного компенсувати. А може статися й таке, що в результаті складання відхилення максимально посиляться. Тому, коли розраховується сумарна абсолютна похибка, слід враховувати найгірший з усіх варіантів. Те ж саме справедливо і для різниці помилок декількох величин. Дане властивість характерна лише для абсолютної похибки, і до відносного відхилення його застосовувати не можна, оскільки це неминуче призведе до невірного результату. Розглянемо цю ситуацію на наступному прикладі.

завдання

Припустимо, вимірювання всередині циліндра показали, що внутрішній радіус (R₁) Дорівнює 97 мм, а зовнішній (R₂) - 100 мм. Потрібно визначити товщину його стінки. Спочатку знайдемо різницю: h = R₂ - R₁ = 3 мм. Якщо в завданні не вказується чому дорівнює абсолютна похибка, то її приймають за половину ділення шкали вимірювального приладу. Таким чином, Delta- (R₂) = Delta- (R₁) = 0,5 мм. Сумарна абсолютна похибка дорівнює: Delta- (h) = Delta- (R₂) + Delta- (R₁) = 1 мм. Тепер розрахуємо щодо відхилення всіх величин:

delta- (R₁) = 0,5 / 100 = 0,005,

delta- (R₁) = 0,5 / 97 asymp- 0,0052,

delta- (h) = Delta- (h) / h = 1/3 asymp- 0,3333 >> delta- (R₁).

Як бачимо, похибка вимірювання обох радіусів не перевищує 5,2%, а помилка при розрахунку їх різниці - товщини стінки циліндра - склала цілих 33, (3)%!

Наступне властивість говорить: відносне відхилення твори кількох числі приблизно дорівнює сумі відносних відхилень окремих співмножників:

delta- (ху) asymp- delta- (х) + delta- (у).

Причому дане правило справедливо незалежно від кількості оцінюваних величин. Третє і останнє властивість відносної похибки полягає в тому, що відносна оцінка числа k-го ступеня наближено в | k | разів перевищує відносну похибка вихідного числа:

delta- (х^k) asymp- | k | x delta- (х).